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环的可逆元一定不是零因子

零因子一定不是可逆元,因为若ab=0,a,b不等于零,假设a有可逆元,那么a√—1ab=a√—1 0得b=0与条件矛盾,所以零因子一定不是可逆元

先说结论: 域中一定没有零因子."非零元素均可逆的整环"确实是域的一种定义.除此之外, 也有定义为"非零元素关于乘法构成群的交换幺环"(细节上要求至少有两个元素).前一种定义自然没有零因子, 而后一种定义需要证明一下.简单的事实: 可逆元一定不是零因子(不需交换性).因为若a可逆, 即存在b使ab = ba = 1.若c使得ac = 0, 则有c = bac = 0. 类似的, 若ca = 0, 有c = cab = 0.因此与可逆元相乘得0的只有0, 即可逆元不是零因子.按照第二种定义, 域中的非零元都是乘法群中的元素, 故可逆, 从而不为零因子.

不可能;首先,什么是零因子?左零因子是左乘一个非零元素得零的元素,既可以从左边将非零元素化零;右零因子定义类似;每一个环都有0元素,0元素一定是零因子,并且0在一个非0环中不可逆;非零元素a如果是左零因子,则满足a≠0,b≠0,ab=0,则若a可逆,等式两边乘以a的逆元,则可得b=0,矛盾;非零元素a是右零因子同上可证不可逆.综上零因子不可逆

证明g有且仅有一个2阶子群. 3. 设r是一个有单位元的环,r中元素有右逆所以a是r的左零因子左→右:因为au=0(u≠0),因为a有右逆元不妨设ab

整数环是一个整环(无零因子交换幺环),但不是除环(除环每个非零元都有逆).对乘法的单位元1,只有1*1=1和(-1)*(-1)=1,故可逆元只有1和-1.

全体整数所组成的集合中有两种运算:加法和乘法,而且它们满足下面运算法则:1)加法满足结合律;2)

零因子:[2][4][5][6][8] 可逆元:[1][3][7][9]

用反证法, 假设R是无限环, 但存在并只有有限个零因子.设a是R中一个零因子, 则有a ≠ 0, 并存在b ≠ 0使ab = 0.考虑映射φ: R → R, φ(x) = xa, 可知φ是R作为加法群到自身的同态.易见, ker(φ)中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群.而R是无限群, 由同态基本定理, im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集.即当x取遍R中的元素, xa有无限种不同的取值.但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子.于是R中有无限个零因子, 矛盾.因此题目所述的环只能为有限环.

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